Связанные понятия
В теории категорий, представимый функтор — функтор специального типа из произвольной категории в категорию множеств. В некотором смысле, такие функторы задают представление категории в терминах множеств и функций.
В коммутативной алгебре, дробный идеал — это обобщение понятия идеала целостного кольца, особенно полезное при изучении дедекиндовых колец. Условно говоря, дробные идеалы — это идеалы со знаменателями. В случаях, когда одновременно обсуждаются дробные и обычные идеалы, последние называют целыми идеалами.
Теорема об обратной функции даёт достаточные условия для существования обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции.
Экспоненциал — теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств. Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми.
Упоминания в литературе
При изучении темы рассматриваются основные положения Г. Кантора о множестве. Изучаются основные
понятия теории множеств: множество, элемент множества, подмножество, пустое множество, характеристическое свойство или условие задания множества. Рассматриваются основные виды и операции над множествами и др. Затем необходимо остановиться на основном способе сравнения множеств – установлении взаимно однозначного соответствия, понятии эквивалентности. С позиции теоретико-множественного подхода необходимо дать определение натурального числа. Анализируется роль теории множеств для понимания того, как дети осваивают представление о числе и счете. Анализируется аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Для этого необходимо изучить систему аксиом для определения натурального числа Дж. Пеано.
Таким образом, усмотрение в системе тех или иных элементов и частей является относительным и обусловлено во многом субъективно. Этот выбор не может
быть абсолютно произвольным; необходимо, чтобы выделенная часть могла быть объединена с другой частью так, чтобы «они совместно были изоморфны данному целому» (изоморфны в понимании, введенном Эшби). Но – даже при таком ограничении – вариантов этого изоморфизма для конкретной системы может быть огромное количество. Поэтому дробление на мелкие или же на крупные элементы в значительной мере зависит от исследователя (Эшби, 1966; Heylighen, 1999).
Второй аспект развиваемого мной взгляда на значение не столь обычен и имеет больше следствий. Два человека могут использовать набор взаимосвязанных терминов одинаковым образом, но применять в своей деятельности различные (в
принципе совершенно несвязанные) наборы координат поля. Примеры приведены далее, а пока можно подумать над следующей метафорой. США могут быть нанесены на карту с помощью разных систем координат. Индивиды с разными картами будут определять положение, скажем, Чикаго, посредством различных пар координат. Но все они тем не менее будут устанавливать местонахождение одного и того же города, при условии, что карты масштабированы таким образом, что сохраняют относительное расстояние между элементами, нанесенными на карту. Метрика, сопутствующая каждому из различных наборов координат, должна, таким образом, быть выбрана так, чтобы сохранять структурные геометрические отношения внутри нанесенной на карту территории[46].
Когда мы говорим о принципе, согласно которому для психического существуют единичные элементы, с одной стороны, и отношения между этими единичными элементами, – с другой, не следует думать, что это касается сложности соответствующих элементов. Нет,
сложные отношения между единичными элементами вполне могут стать, сами по себе, единичными элементами, а новые отношения между ними могут так и не быть построены. То есть, грубо говоря, человек имеет все шансы, обладая богатым пространством мышления, со временем скатиться обратно в плоскость мышления, лишенную действительной внутренней структуры. И в этом случае его личностное «я», сохраняя, возможно, определенное богатство своего содержания как интеллектуальный объект, в качестве специфической функции окажется почти ничтожным.
Определяемое понятие выражено названием (именем) объекта (единичного или любого из данного
класса объектов). Определяющее можно представить, как наиболее точное и лаконичное описание (через указание на существенные и отличительные признаки) сущности определяемого предмета или пределов использования термина, а также (другие возможные варианты) – функций, способа возникновения определяемого объекта, элементов контекста, позволяющих более точно его представить и т. д.; связка зачастую обозначена обычным тире.
Связанные понятия (продолжение)
Направленное множество в математике — непустое множество A с заданным на нем рефлексивным транзитивным отношением ≤ (то есть предпорядком), обладающее дополнительным свойством: у любой пары элементов из A есть верхняя грань в A.
Неассоциативное кольцо (не обязательно ассоциативное кольцо) — общеалгебраическая структура, обобщение понятия кольца, определяется сходным с кольцом образом, но при этом не требуется ассоциативность умножения. Иногда под «кольцом» понимается это его обобщение, но большинство источников по алгебре включают в определение термина «кольцо» условие ассоциативности умножения.
В теории колец,
простой модуль (также используется название «неприводимый модуль») над кольцом R — это модуль над R, не имеющий ненулевых собственных подмодулей. Эквивалентно, модуль является простым тогда и только тогда, когда любой циклический модуль, порожденный одним его элементом (ненулевым элементом), совпадает со всем модулем. Простые модули служат для построения модулей конечной длины, в этом смысле они похожи на простые группы.
Полупростые модули (вполне приводимые модули) — общеалгебраические модули, которые можно легко восстановить по их частям. Кольцо, являющееся полупростым модулем над самим собой, называется артиновым полупростым кольцом. Важный пример полупростого кольца — групповое кольцо конечной группы над полем характеристики ноль. Структура полупростых колец описывается теоремой Веддербёрна — Артина: все такие кольца являются прямыми произведениями колец матриц.
Подробнее: Полупростой модуль
Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.
Максимальным идеалом коммутативного кольца называется всякий собственный идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале.
Подробнее: Максимальный идеал
Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. За счёт того, что является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивает практически полный параллелизм с геометрическими...
Синглетон — множество с единственным элементом. Например, множество {0} является синглетоном.
Случайный элемент — обобщение понятия случайной величины. Термин был введён, по-видимому, М.Фреше (1948), отмечавшим, что «развитие теории вероятностей и расширение области её приложений привели к необходимости перейти от схем, где (случайные) исходы опыта могут быть описаны числом или конечным набором чисел, к схемам, где исходы опыта представляют собой, например, векторы, функции, процессы, поля, ряды, преобразования, а также множества или наборы множеств».
В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.
Подробнее: Функтор Hom
Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.
Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности (однако некоторые авторы, например Бурбаки, ссылаются на кольцо главных идеалов как на целостное кольцо).
Вну́тренность множества в общей топологии — это совокупность всех внутренних точек. Обычно обозначается Int, вероятно, от англ. Interior. Иногда внутренность множества называют ядром.
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения.
Вложение Сегре используется в проективной геометрии для того, чтобы рассматривать прямое произведение двух проективных пространств как проективное многообразие. Названо в честь итальянского математика Беньямино Сегре.
Рекурсивное определение или индуктивное определение определяет сущность в терминах её самой (то есть рекурсивно), хотя и полезным способом. Для того, чтобы это было возможно, определение в любом данном случае должно быть хорошо-основанным, избегая бесконечной регрессии.
Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.
В теории категорий
нормальный морфизм (соотв. конормальный морфизм) — это морфизм, являющийся ядром (соотв. коядром) некоторого морфизма. Нормальная категория — это категория, в которой каждый мономорфизм нормален. Соответственно, в конормальной категории каждый эпиморфизм конормален. Категория называется бинормальной, если она нормальна и конормальна одновременно.
В
алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «{0}», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения T x = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество...
Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.
Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.
Подробнее: Прямая и обратная предельная теорема
Группа Григорчука — первый пример конечнопорождённой группы промежуточного роста (то есть её рост быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального).
Категория абелевых групп (обозначается Ab) — категория, объекты которой — абелевы группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп. Является прототипом абелевой категории., в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в Ab.
В общей алгебре,
поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий...
В теории представлений групп Ли и алгебр Ли, фундаментальное представление — это неприводимое конечномерное представление полупростой группы Ли или алгебры Ли, старший вес которого является фундаментальным весом. Например, определяющий модуль классической группы Ли является фундаментальным представлением. Любое конечномерное неприводимое представление полупростой группы Ли или алгебры Ли полностью определяется своим старшим весом (теорема Картана) и может быть построено из фундаментальных представлений...
Подробнее: Фундаментальное представление
Степень роста группы — характеристика в теории групп, показывающая скорость прироста конечнопорождённых групп в виде класса функций, ставящих в соответствие количеству порождающих элементов порядок группы. Введена советским математиком Шварцем (1955) в рамках исследования вопроса о росте универсальных накрывающих римановых пространств и независимо от него американским математиком Милнором (1968) в связи с проблемами фундаментальных групп компактных римановых многообразий с ограничениями на кривизну...
Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.
Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.
Функция принадлежности нечёткого множества — обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому множеству.
Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера.
Единичный отрезок — величина, принимаемая за единицу при геометрических построениях. При изображении декартовой системы координат, единичный отрезок обычно отмечается на каждой из осей.
Метод простой итерации — один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом последовательных приближений. В частности, для систем линейных алгебраических уравнений существует аналогичный метод итерации.
Говорят, что частичный
порядок или линейный порядок < на множестве X плотный, если для всех x и y из X, для которых выполняется x < y, существует элемент z в X, такой что x < z < y.
Лемма о вложенных отрезках , или принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, или принцип непрерывности Кантора — фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел.
Полурешётка (англ. semilattice, до 1960-х годов также использовался термин полуструктура) в общей алгебре — полугруппа, бинарная операция в которой коммутативна и идемпотентна.
Конгруэнция — отношение эквивалентности на алгебраической системе, сохраняющееся при основных операциях. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую факторсистему — разбиение исходной алгебраической системы на классы эквивалентности по отношению к конгруэнции.
Нумерация Гёделя — это функция g, сопоставляющая каждому объекту некоторого формального языка её номер. С её помощью можно явно пронумеровать следующие объекты языка: переменные, предметные константы, функциональные символы, предикатные символы и формулы, построенные из них. Построение нумерации Гёделя для объектов теории называется арифметизацией теории — оно позволяет переводить высказывания, аксиомы, теоремы, теории в объекты арифметики. При этом требуется, чтобы нумерация g была эффективно вычислимой...
Абсолютная непрерывность — в математическом анализе, свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием.
Упоминания в литературе (продолжение)
Обратите внимание! Мы имеем полное право использовать данную классификацию даже в отношении произвольных матриц, так как мы не будем графически строить данные кривые, нас будет интересовать только вид кривой. Из курса алгебры хорошо
известно, что любые преобразования элементов матрицы не меняют знака определителя и не способны изменить его значения, если определитель равен нулю, что для нас важно и абсолютно достаточно.
Человек отличается от животного, прежде всего, тем, что способен абстрактно мыслить. Абстрактное мышление основано на том, что объекты окружающей реальности описываются посредством языка понятиями, существующими только в сознании. Высшей формой абстрактного мышления является теоретическое мышление. Оно состоит в том, что реальный объект заменяется идеальной (т. е. воображаемой, существующей только в сознании) схемой, называемой далее теоретической схемой. Именно теоретическая схема, а не объект непосредственно, подвергается далее мысленному анализу, в том числе математическому. Например, теоретической схемой
солнечной системы является множество точек, взаимодействующих между собой посредством гравитации и обращающихся вокруг Солнца (тоже точки) по замкнутым орбитам. Чувственный образ, описание объекта абстрактными понятиями, теоретическая схема и результаты её изучения образуют идеальный (субъективный, воображаемый, существующий только в сознании) аналог объекта. Аналог объекта не всесторонний, неполный, потому что в общем случае невозможно учесть все черты, все особенности объекта. Невозможно точно описать все взаимодействия между всеми элементами объекта. Но идеальный аналог обязательно должен отражать все главные, отличительные черты объекта и все главные взаимодействия. Теперь мы подошли к определению знания: знание – это идеальный аналог объекта познания, который соответствует объекту в главных отличительных чертах. Идеальный аналог может содержать и второстепенные черты, соответствующие объекту познания. Таким образом, соответствие идеального аналога объекту познания является не всесторонним, неполным в качественных отношениях и приближенным в количественных отношениях.
Отношение включения – это отношение вида и рода. Множество А
является частью или подмножеством множества В, если каждый элемент А есть элемент В. Отражается в виде формулы А є В (множество А входит в множество В). В отношении принадлежности класса принадлежит классу А и записывается как а є А. Отношение тождества подразумевает, что множества А и В совпадают. Это закрепляется как А є В.
Отношение включения – это отношение вида и рода. Множество А
является частью или подмножеством множества В, если каждый элемент А есть элемент В. Отражается в виде формулы А с В (множество А входит в множество В). В отношении принадлежности класс а принадлежит классу А и записывается как а с А. Отношение тождества подразумевает, что множества А и В совпадают. Это закрепляется как А = В.
Если мы проведем «полный» логический анализ языка, то, согласно Витгенштейну, мы получим класс наиболее простых предложений, которые он называет элементарными и которые, с его точки зрения, представляют собой конфигурацию или «сцепление» имен. Будучи лингвистическим фактом, элементарное предложение является образом некоторого (реального или возможного) положения вещей или атомарного факта в том смысле, что способ сочетания имен в предложении совпадает с тем, как скомбинированы объекты в положении вещей. Но что означает это совпадение? Оно не может быть сходством в пространственном (физическом) взаиморасположении элементов предложения и положения вещей. Согласно Витгенштейну, факт и его лингвистический образ существуют в одном и том же логическом пространстве, а потому
могут иметь общую логическую форму. Поскольку имена в его представлении являются конвенциональными знаками, совпадение логической формы образа и факта, видимо, следует понимать так: имена комбинируются друг с другом в соответствии с правилами, которые образуют «синтаксис» языка; синтаксис же в такой же мере пронизан логикой, как и все то, о чем мы можем говорить[35]. Таким образом, благодаря лингвистическим конвенциям и «логичному» синтаксису языка определенные способы сочетания имен при образовании предложений способны репрезентировать определенные способы комбинирования объектов в положениях вещей. Вместе с тем, как мы увидим далее, Витгенштейн относит логическую форму к тому, что «не может быть сказано». Образ является отображением факта, но он не может изображать то, благодаря чему он является образом. «Предложения не могут изображать логическую форму, она отражается в них» (4.121). Предложения своим видом предъявляют логическую форму, показывают ее, но описать ее нельзя.
В предыдущих главах мы выяснили, что для того, чтобы быть словом, определенная последовательность фонем должна выражать родовую и интегральную категории, чтобы функционировать в качестве минимального компонента знаковых моделей человеческого опыта. Как минимальный компонент ситуативной модели опыта слово может
выступать, обозначая объект, изменение, свойства объекта или изменения, а также различные существенные для человека условия, в которых возможны изменения, совершаемые объектами и изменяющие свойства объектов (место действия, время действия и пр.). При этом родовая категория обеспечивает слову возможность занимать определенное место в синтаксически дифференцированных последовательностях, а интегральная категория вбирает в себя весь комплекс переживаний, порождаемых человеческими потребностями и локализованных в памяти благодаря определенному языковому знаку как элементу системы. Любая категория является способом моделирования функционального свойства человеческого опыта, накопленного в результате постоянных контактов с окружающей действительностью в процессе удовлетворения своих потребностей. Она существует как средство организации ряда словесных знаков в аналитические модели элементов опыта по схемам, подробно рассмотренным в предыдущей главе (объект, изменяющий другой объект; способность объекта обладать определенным свойством; объект, выступающий в качестве места или времени действия, и др.).
Наиболее часто в литературе встречаются интерпретации понятий «система» и «элементы» в философских категориях «целое» и «часть».[21] В таком
случае система как единство элементов и структуры рассматривается как некоторая целостность, а элементы системы интерпретируются как части целого. Несмотря на очевидную близость рассматриваемых понятий и категорий, понятие «система», тем не менее, дает нечто новое по сравнению с представлением о целом и его частях. Элементы целого могут объединяться различным путем «как по объективным, закономерным, так и по субъективным, произвольным моментам, как по качественным, так и по количественным признакам, как по содержательным, так и по формальным критериям».[22]
3.315. Если мы превратим элемент суждения в переменную, то получим класс суждений, все из которых будут значениями итогового переменного суждения. В целом этот класс окажется зависимым от значения, которым наши произвольные договоренности наделили части исходного суждения. И если все его знаки,
имеющие условно закрепленные значения, обратятся в переменные, мы все равно получим подобный класс. Этот класс, впрочем, будет зависеть не от условностей, а только от природы суждения. Он соответствует логической форме – логическому прототипу.
Описание процесса изменения состояний – это и есть, с точки зрения математика или физика, описание процесса эволюции или развития изучаемого объекта. И в таком контексте понятие организации кажется, вообще говоря, ненужным – без него вроде бы можно и обойтись. Однако в процессе исследования того или иного объекта мы, как правило, обнаруживаем, что характерные времена изменения некоторых переменных его состояния значительно больше соответствующих времен других переменных. Вот эти первые переменные состояния мы и условимся относить к элементам организации. Другими словами, организация изучаемого объекта (системы) – это совокупность консервативных, медленно изменяющихся (в частном случае – постоянных, неизменных) характеристик объекта. У кристаллов это их геометрия – взаимное расположение вершин, ребер, граней. В турбулентном потоке – это средние характеристики давления, пульсации скоростей и т. д. С этих же позиций можно изучать и организацию живого мира, и общественные структуры, определяя каждый раз те характеристики эволюционного процесса, которые мы будем относить к организации.
Например, в теории динамических систем под организацией естественно понимать топологию ее фазовых траекторий, структуру аттракторов и т. д. В процессе исследования мы следим за изменением организации системы, изучаем условия ее коренной перестройки. С помощью такого языка часто оказывается возможным описать более наглядно те или иные свойства механизмов бифуркационного типа, поскольку именно в точках катастрофы и происходит резкое изменение организации.
Очевидно, что только типологический подход позволит получить целостное описание вариаций индивидуально-психологических различий, поскольку такой подход дает возможность свести практически бесконечное множество отдельных измерений к конечному, генетически заданному множеству устойчивых структур свойств индивидуальности человека. Б. М. Теплов предупреждал, что проблему типов следует решать только после того, как будут изучены «элементы» типологии (Теплов, 1961; Теплов, Небылицын, 1963).
Можно считать, что такие «элементы» уже частично выделены и, следовательно, в недалеком будущем проблема типологии станет центральной проблемой дифференциальной психофизиологии.
Лотман акцентирует внимание на том, что под художественным элементом следует понимать не столько материальную единицу или образную фигуру, троп, а прием, понимаемый как отношение, функция. Кодированная структура является целым, в рамках которого наделяется смыслом и отдельный элемент. Выявить значимые, существенные элементы целого и отличить их от несущественных можно, установив типы структурирования в тексте (например, ритмические повторы одного и того же элемента, установление отношений между элементами текста по эквивалентности и по порядку). Но как семантизировать случайный, бессмысленный, абсурдный элемент, к примеру, «заумные слова»?
Обладающий нулевым семантическим содержанием элемент, по Лотману, также структурируется, но наделяется особым «минус-значением».
При рассмотрении сложных социальных объектов, состоящих из многих различных объектов, приходится давать определения объекту в целом и его компонентам. При этом должно быть построено одно сложное определение, расчлененное на ряд
частичных определений, а не просто некоторое число разрозненных определений. В этом сложном определении между его частичными определениями и определением в целом должна иметь место логическая связь. Объект в целом должен быть определен через его составные части, а части – в отношении друг к другу и к целому. В логике этот тип определения не описан должным образом. В дальнейшем нам с такими определениями придется иметь дело неоднократно. Забегая вперед, упомяну здесь об определении общества и его социальной организации совместно с определениями основных компонентов этой организации – государства, экономики и других. Если брать элементы этого сложного комплекса по отдельности и изолированно друг от друга, они превращаются в предмет бесконечного словоблудия. А будучи взяты именно как элементы единого комплекса, они оказываются сравнительно простыми для понимания.
При этом самоподобие фрактальных паттернов может быть абсолютным (точное рекурсивное воспроизводство паттерна) или относительным (квазиподобие), когда маленькие элементы фрактала при увеличении масштаба рассмотрения не повторяют точно систему в целом, но в общем имеют похожий, хотя и несколько искаженный вид. При внесении в геометрический или алгебраический алгоритм периодических случайных вариаций получаются стохастические
фракталы. В таких случаях имеет место приближенное сходство, которое достаточно хорошо ощутимо. Большинство природных фракталов являются стохастическими фракталами. Такие фракталы (например, Броуновское дерево) обладают статистическим подобием. Кроме того, существуют алеаторные фракталы, в которых искажения паттерна существенны и непредсказуемы из-за случайных внешних возмущений[36]. В городской культуре к ним принадлежат большинство городских кварталов, архитектура храма Святого семейства (арх. А. Гауди), музея Гуггенхайма в Бильбао, Центра науки и культуры короля Абдул Азиза в Саудовской Аравии (см. цветную вкладку) и др.
Такое понимание единицы восходит к известной концепции Л.С.Выготского: «Первый способ психологического анализа можно было бы назвать разложением сложных психологических
целых на элементы… Существенным признаком такого анализа является то, что в результате его получаются продукты, чужеродные по отношению к анализируемому целому, – элементы, которые не содержат в себе свойств, присущих целому как таковому, и обладают целым рядом новых свойств, которых это целое никогда не могло обнаружить…Под единицей мы подразумеваем такие продукты анализа, которые, в отличие от элементов, обладают всеми основными свойствами, присущими целому, и которые являются далее не разложимыми живыми частями этого единства…» (Выготский, 1956, с.46 – 48).
Индуктивные определения. Индуктивным
определением называется определение некоторого множества посредством использования общего приема (алгоритма), позволяющего построить любой элемент этого множества из некоторых исходных элементов. Алгоритмом здесь называется точное предписание, выполнение которого ведет от начальных данных к искомому результату. Индуктивное определение и задает такой способ порождения элементов множества из некоторых исходных.
Ясно, что исходные «базовые» предикаты были эмпирическими, и мы нуждались в них, чтобы зафиксировать референт нашего обсуждения. Это значит, что, например, если мы скажем, что м-р Х. доктор, мы можем утверждать, что мы высказываем это свойство о человеке, которого имеем в виду, только если этот м-р Х. есть в то же время то лицо в нашей группе, которое идентифицируется нашими базовыми предикатами. Но м-ру Х. могут приписываться разного рода свойства, как эмпирические, так и неэмпирические, и мы можем использовать любые из них, говоря о человеке, которого имеем в виду, если существует сеть предложений, которая, в случае надобности, сможет показать, как соотнести то, что мы говорим, с базовыми предикатами, которые мы выбрали для его идентификации. В этом смысле мы можем также сказать, что мы расширили описание нашего «объекта», поскольку
все используемые нами новые предикаты на самом деле улучшают его определение, привнося новые элементы в логическую сеть, выражающую структуру теории, ограничивая тем самым область того, что может быть объектом именно этого сорта[136].
Понятие «структура» является в настоящее время одним из центральных в языкознании. Основными признаками структуры являются целостность и связность.
Понятие связности как основного признака структуры заимствовано из математики. Этот признак является неотъемлемым показателем структуры, однако ее описание через один этот признак не является исчерпывающим. Понятие структуры применительно к тексту предполагает, наряду со связностью, еще один параметр – целостность объекта1. Это понятие заимствовано из естественных наук: свойство всего объекта не выводимо только из свойств отдельных элементов, из системы отношений между ними и не равняется простой арифметической сумме их свойств.
Описание процесса изменения состояний – это и есть, с точки зрения математика и физика, описание эволюции (или развития) изучаемого процесса. И в таком контексте понятие «организация» кажется, вообще говоря, ненужно – без него вроде бы можно и обойтись. Однако, проводя исследование того или иного объекта, мы, как правило, обнаруживаем, что характерные времена изменения некоторых переменных его состояния значительно больше соответствующих времен других переменных.
Вот эти первые переменные состояния мы и условимся относить к элементам организации.
24. Выражение «взаимодействие» для третьей категории отношения, обнимающей субстанцию и причинность как одно совокупное целое, легко может ввести в заблуждение, создав впечатление, будто речь идет здесь только о двойном применении причинности от части к части. Отличительный признак этой категории заключается в характере цельности, в том, что во взаимодействии частей целое в такой же мере полагается, и полагается как полное целое, как каждый элемент сполна определяется только лишь в своем отношении к целому. Так как этот характер целого выражается в слове «система», то лучше, пожалуй, категорию
взаимодействия прямо называть категорией системы. Во всяком случае, рискованно сохранять рядом с терминами субстанция и причинность термин «взаимодействие», который может дать повод к неправильным представлениям.
Примечание 4. Пространство есть не только формируемое, организуемое нечто, но и выступает как самостоятельное организующее начало, способное оказывать самостоятельное действие, в том числе обратное действие на порождающие его объекты. Его самость есть результат порядка (симметрии) параметрических
характеристик пространства, который (как элемент формы процесса) может влиять на его (процесса) содержание.
Полученную в ходе экспериментального исследования концептуальную систему описывает В. Н. Пушкин (1978). Эта система «благодаря своей ситуативности является конкретной и одновременно, по
способу кодирования признаков элементов, выступает как абстрактная» (там же, с. 109). «Понятие „ситуативный концепт“ показалось нам вполне приемлемым. Это понятие говорит о некоторых абстрактных свойствах объекта и о возможности использования системы данных свойств в конкретной ситуации. Как раз такими особенностями характеризуется та абстрактно-динамическая схема, о возникновении которой в процессе решения задач свидетельствуют результаты наших исследований» (там же, с. 110).
Векторная топологическая модель обязана своим происхождением задаче описания полигональных объектов. Ее называют еще линейно-узловой моделью. С ней связаны и особые термины, отражающие
ее структуру. Главные ее элементы (примитивы):
Опираясь на разграничение, проведенное П. С. Кузнецовым, М. В. Панов теоретически обосновывает само понятие «суперсегментная единица». Предложенная им процедура проверки звуковой единицы на суперсегментность вытекает, во-первых, из системного представления о звуковой стороне языка, во-вторых, из необходимости определить структуру самой суперсегментной единицы. М. В. Панов пишет: «Если А и Б (два
элемента, два признака, две сущности) образуют сочетания АБ и БА, но нет в языке сочетаний АА ББ, то сочетания АБ и БА образуют (каждое) единую, целостную, неделимую единицу» [1979: 69]. При этом признаки А и Б являются противоположными, в силу чего, зная один признак, мы всегда правильно определим другой. Таким образом, суперсегментная единица, «разлитая» поверх звукового ряда, то есть соотнесенная с определенным отрезком речевой цепи, существует в то же время в виде некоторых признаков, соотносимых с элементами данного отрезка. Так, признаки «ударность» и «безударность» реализуют ударение как суперсегментную единицу, соотносимую со словом в целом [Панов 1979].