Связанные понятия
Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Упоминания в литературе
При этом, как следует из совокупности экспериментальных данных, такое расстояние в пространстве – времени следует вычислять по формуле ?s2=c2?t2 −?r2. Отличие в знаке существенным образом сказывается на аналитических
вычислениях и свойствах геометрии пространства – времени. Учитывая это, последующее геометрическое моделирование вполне адекватно описывает физику черных дыр. ?
Функциональная структура понятий не составляет специфической особенности чистой математики (арифметики, алгебры). Она свойственна в одинаковой мере и ее остальным отраслям, а также области математически обоснованного естествознания. Не только понятие отвлеченного члена, но
также и основные понятия геометрии, механики, физики, химии (как, например, понятия пространства, времени, атома, химического элемента) постепенно утрачивают в современной науке (или уже утратили вполне) свой субстанциальный характер и превращаются в функциональные понятия, в понятия отношений. В области геометрии первый шаг в этом направлении сделал Декарт, которому удалось при помощи открытой им аналитической геометрии свести основные отношения пространства на отношения чисел. Впоследствии дифференциальная и проективная геометрии и новейшие учения о пространственных многообразиях высшего порядка завершили этот логический процесс, представив исчерпывающее доказательство тому, что все пространственные образования, равно как и само пространство, целиком сводятся для научной мысли к известным функциональным отношениям, точнее, к различным типам функциональных отношений, находящих свое адекватное выражение в закономерно развивающихся рядах численных значений.
Соответственно, семантика каждого конкретного текста задается своей функцией распределения (плотностью вероятности) – p (μ). В общем случае можно говорить о
текстах, определяемых функцией распределения вероятности, задаваемой на многомерном пространстве.
Уильям Оккамский, францисканец из Оксфорда, впоследствии парижанин, знаменит той самой «бритвой», которая и по сей день актуальна для физической науки. Попросту говоря, принцип бритвы Оккама сводится к следующему: теории следует создавать, делая как можно меньше допущений, взятых с потолка. У струнной теории, например, есть намерение строго вывести фундаментальные константы – заряд электрона, число (и тип) существующих «элементарных частиц» и даже число измерений пространства. В предыдущих теориях вся эта информация принималась аксиоматически: ее включали в построения, а не выводили из них. И к математике применима такая эстетика:
например, при создании геометрической теории следует опираться на минимально необходимое количество аксиом.
Прообраз поверхности – лист бумаги или лоскут ткан и т. д. Главное различие между евклидовой и неевклидовыми геометриями состоит в том, что евклидова геометрия использует образ пространства как неограниченное множество плоских поверхностей, а в неевклидовых геометриях эти поверхности искривленные.
Неевклидовы геометрии получены логическим обобщением евклидовой геометрии. Следовательно, они имеют ту же эмпирическую основу, что и евклидова геометрия.
Связанные понятия (продолжение)
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.
Топологическое векторное пространство , или топологическое линейное пространство, — векторное пространство, наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны.
Многомерный
анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.
Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.
В математике (особенно в теории категорий), коммутативная диаграмма — изображаемая в наглядном виде структура наподобие графа, вершинами которой служат объекты определённой категории, а рёбрами — морфизмы. Коммутативность означает, что для любых выбранных начального и конечного объекта для соединяющих их ориентированных путей композиция соответствующих пути морфизмов не будет зависеть от выбора пути.
Подробнее: Коммутативная диаграмма
Бордизм , также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных...
Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих...
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Аффи́нное преобразование , иногда Афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.
Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Подробнее: Ограниченное множество
Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.
Тополо́гия Зари́сского , или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.
Разме́рность — количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта, или количество степеней свободы системы.
Инвариа́нт — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа.
Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических постоянных, математические постоянные определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций...
Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.
Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.
Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам.
Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.
О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z-преобразование.В математике дискретный оператор Лапласа — аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа (имеющего конечное число вершин и рёбер) дискретный оператор Лапласа имеет более общее название: матрица Лапласа.
Подробнее: Дискретный оператор Лапласа
Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.
В математике
путь в топологическом пространстве X — это непрерывное отображение f из единичного отрезка I = в X...
В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.
Подробнее: Особая точка (дифференциальные уравнения)
Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.
Аффи́нная свя́зность — линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля.
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а...
Упоминания в литературе (продолжение)
Сокращение
размерности пространства переменных и анализ выделенных компонент или факторов. Рассчитав значения традиционных интегральных показателей и дополнительные информативные признаки, для сокращения размерности пространства анализируемых переменных можно с помощью соответствующего метода выделять скрытые главные компоненты или факторы, объясняющие высокую долю суммарной дисперсии полученного набора переменных. Важным аспектом при выборе компоненты/фактора является как доля описываемой дисперсии, так и возможность интерпретации новой переменной по величинам компонентных нагрузок наблюдаемых переменных (частных корреляций переменных и компонент). Примеры двух главных компонент, описывающих 19,5 % доли суммарной дисперсии элементов SR-матриц, построенных по последовательностям фиксаций взора в областях интереса, выделенных на стимульном материале теста Равена, приведены на рисунках 3 и 4. Номера столбцов и строк данных матриц совпадают с номерами областей интереса, выделенных в стимульном материале заданий теста Равена (1, 2, 3 – верхняя строка элементов матрицы задания; 4, 5, 6 – средняя строка; 7, 8, 9 – нижняя строка; 10 – область альтернатив ответа).
Примечание. Множество Парето, названное так по имени известного итальянского экономиста Парето, играет важную роль в теории многокритериальной оптимизации. Предположим, что мы хотим найти такую стратегию – вектор х, которая наилучшим образом отвечала бы нашим стремлениям увеличить значение
целого ряда показателей – скалярных функций ?1(x), ?2(x)…. Тогда, задавая некоторое значение вектору х = х1 в пространстве этих показателей мы получаем некоторую точку ?(x1) с компонентами ?1(x), ?2(x)…
Методологическая и одновременно онтологическая идея прерывности получила в XX веке серьезную поддержку в связи с квантовой механикой и изучением микромира. В отличие от классических представлений, было выяснено, что энергия излучается квантами, электронные состояния образуют дискретную последовательность уровней, разрабатывались концепции квантованного пространства – времени. Хотя одновременно наряду с этим у микрочастиц были обнаружены
и волновые свойства, что привело к формулировке тезиса о корпускулярно-волновом дуализме. Вообще физика и математика естествознания начиная с XVII столетия развивались в удивительной генетической близости. Уже с самого начала, как обсуждали мы выше, понятия дифференциала и касательной были специально выработаны для выражения интуиции мгновенной скорости, скорости в точке. Эта связь математики и физики оставалась прочной и в дальнейшем. Теоретико-множественная перестройка математики в XX веке оказывала характерное влияние и на физику, причем к концу столетия это влияние стало явно усиливаться. В отечественной физике появилась теория физических структур Ю. И. Кулакова, которая, по признанию самого автора, представляет собой «бурбакизацию» физики. В аналогичном же направлении разрабатывает свою теорию бинарных физических структур и Ю. С. Владимиров. Несмотря на то что философские и методологические установки этих двух авторов различны – Кулаков ориентирован на Платона, Владимиров – больше на Аристотеля, для первого важна непрерывность, а второй может обойтись и без нее, – исходная точка их рассуждений общая: некоторая теоретико-множественная конструкция[46].
По мере того, как идеи фрактальной геометрии Бенуа Мандельброта постепенно вышли за рамки естественнонаучного дискурса, фрактальный анализ стал действенным методологическим инструментом в гуманитарной математике, в т. ч. в урбанистике и социологии города. Как отмечал теоретик постмодернистской архитектуры Чарльз Дженкс, концепция Мандельброта открыла перспективу для выявления «нового порядка в организации городского пространства, который, словно тропический лес, всегда основан на самоподобии <…>, но является более эстетически-чувственным и удивительным, чем простое воспроизведение одних и тех же элементов»[61]. В рамках «фрактального» подхода города рассматриваются как фракталы и мультифракталы, т. е. как рекурсивные самоподобные
объекты, которые имеют дробную размерность и состоят из паттернов, повторяющихся в той или иной степени на разных структурных уровнях.
Известно, что
пространство состояний квантовой системы линейно. Это значит, что наряду с любыми двумя ее состояниями возможным состоянием является также и их линейная комбинация (суперпозиция). Множество состояний классической системы не является линейным пространством. Классическая система может находиться в одном из возможных состояний, но нельзя придать никакого смысла сумме этих состояний. Здесь явственно наблюдаются признаки парадокса Шредингера, связывавшего детектирование суперпозиционных состояний с логикой макроскопических наблюдений.
Кроме того, с точки зрения обоснования преимуществ и перспективности миварного подхода важно следующее замечание Дж. Люгера: "Решение задачи искусственного интеллекта можно свести к выбору представления среди возможных альтернатив. Выбор подходящего представления весьма важен для разработчиков компьютерных программ, обеспечивающих решение задач искусственного интеллекта. Несмотря на большое разнообразие языков представления, используемых в искусственном интеллекте, все они должны удовлетворять общим требованиям выразительности, эффективности и правильности дедуктивных выводов. Выбор и оценка языков представлений – весьма важная задача как для исследователей, так и для программистов [264, стр. 65]. Как показано в наших работах, выразительность миварного подхода ни в чем не уступает ни исчислениям предикатов, ни семантическим сетям, ни другим известным формализмам в области ИИ. Более того, изменяющееся многомерное миварное информационное пространство позволяет в едином формализме описать и совместить все указанные формализмы, включая исчисление предикатов и семантические сети с онтологиями. С точки зрения семантических сетей, миварное пространство позволяет отобразить такую сеть в многомерном пространстве, что только увеличивает выразительность и позволяет добавить новые связи за счет многомерности. С онтологиями происходит аналогично семантическим сетям. Даже наиболее общую модель данных "сущность-связь" можно легко представить в миварном пространстве, примеры которого подробно описаны в первой монографии Варламова О.О. [72]. Про то,
что исчисление предикатов имеет равные выразительные способности с семантическими сетями, было сказано ранее, в том числе и у Дж. Люгера. Следовательно, по выразительности миварный подход превосходит возможности всех традиционных формализмов, включая семантические сети и модель данных "сущность-связь".
Физикально-относительная парадигма (способ мышления), когда пространство и время представляются как реальности, которые физически (в данном случае – объективно) не существуют раздельно друг от друга, а, напротив, образуют своеобразную взаимосвязанную «непрерывность» (континуум). Причем пространственно-временные свойства этого континуума существенным образом зависят от пространственно-временных, гравитационных, динамических и тому подобных свойств заполняющих их объектов и (!) от скорости движения субъекта-наблюдателя. Бытие времени рассматривается как четвертая координата единого пространства-времени (Минковский, 1935). В микро – и мегамасштабах пространство-время бытия характеризуется криволинейностью, в пределе доходящей до спиралевидности. В дополнение к линейным взаимодействиям (предмет и исходная предпосылка классической физики) приходит представление о полевых взаимодействиях. Этот способ мышления нашел свое яркое
выражение в теории относительности Эйнштейна и других вариантах неклассической физики. Принципиально, что именно здесь открылась ограниченность человеческого восприятия и мышления для познания пространственно-временных свойств бытия. Появляется осознание зависимости познания пространственно-временных свойств бытия от масштаба пространственно-временных характеристик бытия самого субъекта-наблюдателя и вышеуказанной дискурсивной ограниченности человеческого мышления. Противоречие между указанной ограниченностью парадигмального мышления и бесконечной континуальностью свойств физической реальности как объекта исследования привело, как известно, к появлению разного рода физических парадоксов и таких принципов, как принципы неопределенности, дополнительности и эффекта наблюдения (Гейзенберг, 2004; Бор, 1961 и др.).
В физике существует две теории, значительно более глубокие, чем остальные. Первая – это
общая теория относительности, которая, как я уже говорил, является нашей лучшей теорией пространства, времени и гравитации. Вторая – еще более глубокая – это квантовая теория. Эти две теории (но никакая из существующих или ожидаемых теорий субатомных частиц) создают подробную объяснительную и формальную концептуальную основу, в рамках которой выражаются все остальные теории современной физики, и содержат основные физические принципы, которым подчиняются все прочие теории. Объединение общей теории относительности и квантовой теории – с целью получения квантовой теории гравитации – было на протяжении нескольких десятилетий основным предметом поисков физиков-теоретиков. Оно должно было стать частью любой теории всего, как в узком, так и в широком смысле этого термина. Как мы увидим в следующей главе, квантовая теория, как и теория относительности, дает революционно новый способ объяснения физической реальности. Причина, по которой квантовая теория глубже теории относительности, лежит большей частью не в физике, а вне ее, поскольку ее следствия простираются далеко за пределы физики и даже за пределы самой науки в привычном ее понимании. Квантовая теория является одной из четырех основных нитей, образующих наше современное понимание структуры реальности.
Потеряв в специальной теории относительности свою «независимость» от движущихся тел и друг от друга, пространство и время как бы «нашли» друг друга в едином пространственно-временном четырехмерном континууме. Автор континуума математик Герман Минковский опубликовал в 1908 г. работу «Основания теории электромагнитных процессов», в которой утверждал, что отныне пространство само по себе и время само по себе должны быть низведены до роли теней и только некоторый вид соединения обоих должен по-прежнему сохранять самостоятельность. Идея А. Эйнштейна и состояла в том, чтобы представить все физические законы как свойства этого континуума, как его метрику. С этой новой позиции А. Эйнштейн рассмотрел закон тяготения И. Ньютона. Вместо силы тяготения он стал оперировать полем тяготения. Поля тяготения были включены в пространственно-временной континуум как его «искривление». Метрика континуума стала неевклидовой,
«римановской» метрикой. «Кривизна» континуума стала рассматриваться как результат распределения движущихся в нем масс. Новая теория объяснила не согласующуюся с ньютоновским законом тяготения траекторию вращения Меркурия вокруг Солнца, а также отклонения луча звездного света, проходящего вблизи Солнца.
Значение математических методов в теории организации стало особенно наглядным в последние годы, когда были обнаружены удивительные свойства «универсальности» систем различной природы, испытавших многократные бифуркации. Изученные сначала на относительно простых явлениях, таких, например, как отображение отрезка в себя, они, как оказалось, свойственны и процессам неизмеримо более сложной природы9. Конечно, бессмысленно говорить об организации, не называя ее материального носителя. Но ведь похожая ситуация возникла и после открытия общей теории относительности. Теперь трудно оспаривать, что пространство вне времени, вне связи с распределением вещества и изучения и характером их движения есть некая фикция, некая абстракция. Но это вовсе не означает, что нельзя изучать свойства и особенности того же пространства, той же организации самих по себе. Изучение таких абстракций чрезвычайно важно для науки и составляет основу целого ряда теоретических дисциплин (и не только теоретических!). Теоретическая наука в отличие от эмпирии всегда имеет дело с идеализациями реальных объектов. И не только наука. Ведь изучаем же мы законы архитектуры, не вдаваясь особенно в изучение физических свойств тех материалов, из которых построены те или другие шедевры зодчества, и изучаем их архитектурные формы, мало беспокоясь о том, как используются здания.
Следует отметить, что в рамках современной структурной лингвистики элементы смысла чаще рассматриваются как единое континуальное многомерное
семантическое пространство, имеющее динамическую структуру, организованную и функционирующую по вероятностному принципу (динамическая актуализация в семантической структуре конкретного речевого высказывания тех смысловых компонентов, которые способны передать смысл сообщения в данном контексте речи с наибольшей вероятностью того, что этот смысл будет понят окружающими) (Налимов В. В., 1979; Налимов В. В., Дрогалина Ж. А., 1995). Поэтому выделение таких дискретных семантических единиц как семы, ОСП, ТР является в значительной степени условным и определяется спецификой психопатологических, прикладных с точки зрения языкознания, задач, связанных с клиническим аспектом анализа речевой продукции.
Надо признать, что мир предстает довольно необычным в таком «отражении». Поскольку истинность атомарного предложения не зависит от истинности других предложений (а определяется существованием соответствующего атомарного факта), мы не можем на основе истинности одного атомарного предложения заключить об истинности другого атомарного предложения. Отсюда Витгенштейн делает вывод о том, что «из существования или несуществования какого-либо одного атомарного факта нельзя заключить о существовании или несуществовании другого атомарного факта» (2.062), т. е. все атомарные факты оказываются независимыми друг от друга. Каждый атомарный факт случаен в том смысле, что объектам, составляющим субстанцию мира, «случилось» иметь такую конфигурацию. Если конфигурации, присутствующие в действительном мире, случайны, то совокупность всех возможных конфигураций, согласно Витгенштейну, определяет область необходимого и
совпадает с логическим пространством. Необходимость в мире Витгенштейна является только логической, другие необходимые связи (например, причинно-следственные) в нем отсутствуют. Эту логическую необходимость и выражают тавтологии, которые одновременно являются аналитическими и априорными истинами.