Связанные понятия
В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.
Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления...
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией x и y будет выражение вида ax + by, где a и b — коэффициенты).
Упоминания в литературе
♦ каждая клетка таблицы независима от других, вместе они образуют функционально полное пространство для описания системы («
базис »);
5. Вычислить значение знаменателя масштаба по каждому из
базисов , используя формулу:
Классическому подходу («объективизму») противопоставляется неклассический («экспириенциализм»), который полагает формирование категорий не по правилам формальной логики, путем обобщения существенных свойств и отношений, а по правилам взаимодействия человека с действительностью, подчиненного решению определенных задач. Естественные категории функциональны и целостно содержательны, это оперативные единицы опыта (концепты, образы, гештальты) реальной жизни. Возникновение, функционирование и развитие категорий в значительной степени опираются на чувственный опыт и механизмы воображения. В отличие от формальной логики, образные явления обладают гештальт-качествами и экологической структурой (Лакофф, 2004). Принадлежность объекта к категории может быть описана с помощью аппарата нечеткой логики и теории нечетких множеств. У таких категорий нет жестких разделительных границ, функция принадлежности объекта множеству может принимать не только значения «все или ничего», но и промежуточные: объект может принадлежать множеству в некоторой степени, а границы категории становятся вероятностными. Формальные операции над нечеткими множествами позволяют описывать важные эмпирические результаты, полученные, например, в исследованиях категоризации цвета (Berlin, Kay, 1969; Kay, McDaniel, 1978). Согласно Лакоффу, универсальность тех или иных категорий для человека как вида, обнаруживаемая исследователями в различных модальностях, есть функция общего предзаданного нейрофизиологического
базиса и когнитивных структур, которые формируются в зависимости от культуры, опыта и индивидуальных различий. По мнению Дж. Остина (1999), в основе категоризации лежит определенная модель знания, сами же категории обладают прототипической структурой – собственной организацией, включающей ядро и периферию. Это позволяет образовывать категории не только путем учета совпадения свойств (признаков) объектов, но и путем учета их сходства или подобия. Между членами категорий нет равенства, но есть функциональная связь друг с другом, своего рода «фамильное» сходство.
С эпигенетической «вложенностью» эволюционирующих систем связан принцип структурно-процессуальной диффузии. Обусловлен он вышеописанным эффектом полемики и смешения материала материнской и новообразуемой системы: новые формы не только несут в себе подспудный эпигенетический
базис , но и всегда являются прямыми паллиациями с исходной средой. Причём средой не только внешней, но и, главным образом, внутренней, т. е. теми структурами, связями и интенциями, которые любую новую форму непреложно привязывают к её исходным онтологическим основаниям. Иными словами, инновационный импульс всегда оказывается приторможенным и разбавленным инерцией: так имманентность материала сдерживает интенциальную динамику. И, как говорилось выше, инновационные формы воплощают устремления ГЭВ лишь в рамках, установленных трансформативным потенциалом структур материнской системы, а последний всегда лимитирован. И поскольку здесь речь идёт не об изменениях в пределах прежнего структурного паттерна, но о качественных конфигуративных преобразованиях, уместно говорить о том, что этот лимит определяется возможной глубиной структурной деконструкции, в ходе которой формы материнской системы превращаются в материал для строительства более сложных системных структур.
Прежде чем приступить к последовательному анализу проблемы, отметим, что выделение отдельных процедур (способов) научного познания психической реальности достаточно условно. Ведь «речь идет о характеристиках одного и того же объекта, т. е. о характеристиках, которые в силу этого простого факта неразрывно связаны друг с другом. Естественно, связаны и соответствующие способы анализа» (Никитин, 1988, с. 11). Так, изучение структуры предполагает тщательное исследование компонентов объекта и его функций, а последние постоянно подвергаются динамике, изменению и, следовательно, требуют подробного генетического анализа и т. д. Конкретно-научная методология исследования, построенная на соответствующих научных процедурах, создает
базис для формулировки основных положений искомой теории, которые включают в себя представления о «неотъемлемых, имманентно присущих» изучаемому объекту свойствах (атрибутах), о компонентах (субстрате), о характере развития (генезе), о специфически оформленной организации (структуре) и о стабильных поведенческих действиях (функциях).
Связанные понятия (продолжение)
Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом (или собственным значением) линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная...
Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.
Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».
Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Гладкая функция , или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.
В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).
В математике квадра́тная ма́трица — это матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.
Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.
По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Расшире́ние Галуа ́ — алгебраическое расширение поля E/K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения ).
Связное пространство — непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида C: V → V. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.
Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп.
Разме́рность — количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта, или количество степеней свободы системы.
Непрерывная функция — функция, которая меняется без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).
Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Свобо́дный мо́дуль — модуль F над кольцом R (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), если он либо является нулевым, либо обладает базисом, то есть непустой системой S элементов e1,…ei…, которая является линейно независимой и порождает F. Само кольцо R, рассматриваемое как левый модуль над собой, очевидно обладает базисом, состоящим из одного единичного элемента кольца, а каждый модуль с конечным базисом из n элементов изоморфен прямой сумме Rn колец R, рассматриваемых как модули...
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии...
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Представле́ние гру́ппы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.
В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.
Подробнее: Естественное преобразование
Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.
Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.
Ве́ктор (от лат. vector, «несущий») — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости).
Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.
Гру́ппа Галуа ́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие (в контексте группы перестановок корней многочлена) ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.
В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.
Подробнее: Монодромия
Топологическое векторное пространство , или топологическое линейное пространство, — векторное пространство, наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны.
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле...
Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой.
Подробнее: Метрическое пространство
Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.
Упоминания в литературе (продолжение)
Ясная оценка коэффициентов и правильное понимание того, как они образуются, – это просто
базис для всех ваших ставок. Не забывайте, что коэффициенты не просто цифры: они выражают вероятность исхода того события, на которое вы делаете ставку.
С учетом дидактической специфики входного модуля М-0 и его учебных элементов (УЭ-I – УЭ-XIII), целенаправленных на коррекцию довузовских знаний, коррекционные цели данного модуля составляют
базис , на который возводится пирамида дидактических целей (рис. 4). Модули М-10, М-11, М-12, М-13, в содержание которых входит соответственно химия s-, p-, d– и f-элементов, кроме приобретения новых знаний, способствуют закреплению полученных при усвоении модулей М-1 – М-9 знаний на конкретных химических объектах (веществах и процессах). Студенты проявляют знания, умения и навыки при характеристике свойств химических веществ, проведении химических процессов, выборе методов их исследования, использовании реактивов, приборов и химической посуды.
При переформулировании надо учесть, что описание проблемной ситуации фиксирует не только элементы и структуру, но и эмпирический
базис , ментальные модели. Полезно поставить вопрос: как еще можно составить описание проблемной ситуации, какими средствами, с учетом каких мотивов и установок?
Смысловая целостность текста заключается в единстве его темы. «Темой целого текста или микротекста мы считаем смысловое ядро, понимаемое как обобщенный концентрат всего содержания текста»5. Формулировка задач исследования семантики текста заключается в описании смысловой структуры текста или части текста и особенно семантических отношений, вытекающих из смысловой структуры отдельных предложений. Это основная проблема семантической когеренции текста или семантической связи между предложениями. Отсутствие семантической когерентности (связности) делает текст некорректным, а ее наличие отличает тексты от псевдотекстов типа словарей, разговорников и т. д. Таким образом, семантическая когеренция является необходимым условием конституции текста. Что касается проблемы темы текста, то говорящий или пишущий никогда не представляет себе общего семантического
базиса текста, он знает одну или несколько тем, которые будут затронуты. Тема может быть представлена в форме простого или сложного базисного предложения. Возможность раскрытия одной темы в разных текстах и соответствия одного текста нескольким разным темам свидетельствует о неоднозначности соотношения темы и текста. Тема текста связана с общим значение (содержание) текста посредством тематического или семантического развития и семантической связи (в узком смысле).
Фундаментальный
базис этой новой концепции был заложен биологом, нейрофизиологом и философом Франсиско Варелой. А к числу ее активных сторонников сегодня могут быть отнесены такие ученые, как Рендал Бир, Роберт Брукс, Тимоти ван Гелдер, Антонио Дамазио, Энди Кларк, Джорж Лакофф, Мелани Митчел, Патти Маес, Алва Ноэ, Ховард Патти, Эрих Прем, Эстер Телен, Эван Томпсон, Давид Чалмерс, Тим Цимке и многие другие.